在真實(shí)的實(shí)驗(yàn)案例中，幾何或材料的非線性特性會顯著影響變形狀況。這些效應(yīng)可能導(dǎo)致力和位移的非線性關(guān)係。本文聚焦說明於幾何變化引起的非線性效應(yīng)。

翹曲預(yù)測是射出成型模擬中的一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，而大多數(shù)翹曲分析都採用線性彈性法。一般情況下，模型適用線性分析，而不用考慮幾何、材料或邊界條件非線性的影響。然而有時會造成模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不一致，尤其是對軟薄構(gòu)造的模型，例如汽車產(chǎn)品和光學(xué)元件等。而為了改善數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)的差異，我們在計(jì)算中引入幾何非線性效應(yīng)，詳細(xì)說明如下。

非線性結(jié)構(gòu)分析

在數(shù)值結(jié)構(gòu)分析中，線性彈性分析是計(jì)算在外力施加下結(jié)構(gòu)變形最簡單的方法。然而在真實(shí)的實(shí)驗(yàn)案例中，幾何或材料的非線性特性會顯著影響變形狀況。這些效應(yīng)可能導(dǎo)致力和位移的非線性關(guān)係。 圖1顯示線性彈性和非線性彈性分析之平衡關(guān)係差異。

圖1 : 線性彈性和非線性彈性分析之平衡路徑差異

本文聚焦於幾何變化引起的非線性效應(yīng)。這種非線性通常發(fā)生在厚度較小的殼狀產(chǎn)品，或是厚度分佈明顯不均勻的產(chǎn)品中。 因此，若要考慮幾何非線性效應(yīng)，就必須先考量有限元變形理論。

有限元變形理論

有限元變形理論考慮了原始和變形配置之間的位置變化。因此在非線性分析中，結(jié)構(gòu)剛性和邊界條件在計(jì)算過程中可能由於幾何形狀的變化而改變（不同於線性彈性分析中，剛性矩陣會維持不變）。 故結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可看作是位移的函數(shù)，可以表示為：

[K(u)]{△u}=f(u)

此函數(shù)中，K(u)是結(jié)構(gòu)剛性，△u是位移量，f(u)則是外力。

上述為非線性等式，我們須將其正切剛性線性化，並迭代求解。線性化後的平衡系統(tǒng)可以以下公式表示：

[K_t]{△u}=f_res

為了進(jìn)行迭代計(jì)算，我們採用牛頓-拉弗森方法──解決非線性數(shù)學(xué)問題的最著名的方法。此分析會持續(xù)收斂，直到殘餘力小於收斂標(biāo)準(zhǔn)時即完成解答。

幾何擾動（Imperfection）模型應(yīng)用

有時在數(shù)值分析過程中，結(jié)構(gòu)分析中不容易出現(xiàn)非線性情況。但由於真實(shí)通常不如理想考量，模型中可能會存在製造過程產(chǎn)生的不完美，而這些不完美處可能會觸發(fā)非線性平衡路徑。舉例來說，大多數(shù)數(shù)值軟體會應(yīng)用微小的擾動來呈現(xiàn)不完美特性。我們的非線性翹曲分析中也將導(dǎo)入挫屈分析的特徵向量，作為觸發(fā)非線性特性的缺陷。

以「非線性翹曲分析」進(jìn)行翹曲預(yù)測

Moldex3D針對使用者的翹曲分析需求，推出新的求解器「非線性翹曲分析」。在此求解器中，使用者只須選擇「非線性翹曲功能」項(xiàng)目，軟體進(jìn)行分析時即會自動考慮非線性幾何效應(yīng)。

以下先用一個簡單的例子來說明考慮幾何非線性的影響。圖2為比較「標(biāo)準(zhǔn)翹曲」和「非線性翹曲」的結(jié)果，兩個結(jié)果的變形形狀明顯不同。透過這些結(jié)果的平衡路徑，我們可以輕易觀察到該模型的幾何非線性在分析中起著重要的作用。因此若要獲得準(zhǔn)確的分析，此類殼狀產(chǎn)品勢必要考慮幾何非線性的影響。

此外，非線性翹曲分析也提供應(yīng)力分布結(jié)果，供使用者檢視應(yīng)力值最大或應(yīng)力集中的區(qū)域在何處。

圖2 : 非線性翹曲分析(左)與線性翹曲分析(右)

圖3 : 負(fù)載-位移曲線

圖4 : 不同元件的應(yīng)力分布

汽車零件應(yīng)用案例

汽車零件的製造通常是以薄件或輕量化為目標(biāo)，因此其幾何效應(yīng)可能會導(dǎo)致幾何非線性及其他物理性質(zhì)分布差異等問題。

以下用一個汽車零件案例來呈現(xiàn)幾何非線性的影響。如圖5所示，線性和非線性翹曲分析存在明顯的變形差異。圖6紅圈區(qū)域的體積收縮結(jié)果顯示，由於該區(qū)厚度較薄，使其收縮值高於其他區(qū)域。由此案例可看出，在考慮幾何非線性的情況下，顯示由模型幾何、加工條件或纖維等因素所導(dǎo)致的不同收縮分佈看來，對變形的影響很大。因此，對於類殼狀產(chǎn)品，我們通常會建議使用者選擇「非線性翹曲」分析進(jìn)行變形預(yù)測。

圖5 : 線性分析(左)與非線性分析(右)結(jié)果比較

圖6 : 充填/保壓階段的體積收縮

簡化網(wǎng)格應(yīng)用

在迭代過程中，非線性分析非常耗時且計(jì)算成本相當(dāng)高；此外，用於流動分析的網(wǎng)格元素?cái)?shù)量龐大、元素形狀也較大，與結(jié)構(gòu)分析的需求不同。

以圖7為例，左側(cè)是原始建構(gòu)的流動分析網(wǎng)格，但由於邊界層網(wǎng)格在外力施加下，網(wǎng)格元素可能會變形，因此有時不太適合結(jié)構(gòu)分析。因此，我們通常建議使用者建構(gòu)如圖七中右圖的網(wǎng)格，使網(wǎng)格元素均勻分佈。

Moldex3D在此也提供了一個介面，讓使用者可輸入元素?cái)?shù)量和品質(zhì)更適合進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析的網(wǎng)格。透過此映射工具進(jìn)一步延續(xù)射出模擬的資訊，可顯著降低計(jì)算成本，並妥善保存重要的物理量值。

圖7 : 原始網(wǎng)格與簡化網(wǎng)格比較

結(jié)論

除了標(biāo)準(zhǔn)和強(qiáng)化版翹曲分析外，Moldex3D還提供了考慮幾何非線性的翹曲求解器。我們強(qiáng)烈建議使用者選擇此求解器來進(jìn)行殼件產(chǎn)品，如汽車零件和光學(xué)元件的翹曲分析。此外，還提供了一個介面給用戶使用元素量較少的模型進(jìn)行分析，以降低分析的計(jì)算總成本。

（本文作者林享樑為科盛科技研究發(fā)展部工程師）